לגבי טרייענגעלס אינעם גאלדענעם רעישיאו, איז דא דעם קעפּלער טרייענגעל. דאס איז א רייט טרייענגעל [וואו צוויי פון די זייטן זענען פונקטליך פּערפּענדיקיולער איינע צום צווייטן] וואו איין זייט איז 1, די נעקסטע גראדע זייט איז די סקווער רוט פון די גאלדענע רעישאו, און די לענג פון די היפּאַטענוס [די לאנגע שיפע זייט] איז די גאלדענע רעישאו. דאס באדייט אז אויב מאך איך סקווערס ביי אירע זייטן, וועלן זייערע עריעס זיין 1, די גאלדענע רעישאו, און די סקווער פון די גאלדענע רעישאו. ***

ענליך צום גאלדענע רעישאו איז דא די זילבערנע רעישאו. דאס איז ווען די רעישאיו פונעם גרעסערן חלק צום קלענערן חלק, איז דאס זעלבע ווי די רעישאיו ווען איך דאפּל די קלענערע און איך לייג צו די גרעסערע אויך, צום סתם גרעסערן. דאס איז די סקווער רוט פון 2 + 1, והיינו בערך 2.41421.

און פונקט ווי די פיבאנאטשי סיקווענס איז מקושר צום גאלדענע רעישאו, איז דא א סיִקווענס, גערופן די פּעל סיִקווענס, וועלכעס איז מקושר צום זילבערנע רעישאו. די סיִקווענס ארבעט אז איך הייב אָן פונקט ווי פיבאנאטשי סיקווענס, נאר די רול צו באקומען דאס נעקסטע נומער אינעם סיִקווענס איז אז איך דאפּל די נומער וואס איך האב יעצט און איך לייג צו דערצו די נומער איך האב בעפאר, צו באקומען די נעקסטע נומער אינעם סיִקווענס. ווי מער די סיִקווענס גייט, אלס נענטער ווערט די רעישיאו צווישן צוויי נאנטע נומערן דערין צו די זילבערנע רעישאו.

דאס גייט אבער נאך ווייטער צו מעטאלענע רעישאוס על הכלל. והיינו, דאס איז ווען איך נעם איך די סקווער פון א גאנצע נומער און לייג צו דערצו 4, דערנאך נעם איך די סקווער רוט דערפון און איך לייג צו דערצו אט די נומער מיט וועלכע איך האב אָנגעהויבן, און איך נעם דערנאך האלב דערפון. די גאלדענע רעישאו איז ווען די נומער וועלכע איך נוץ איז 1, און די זילבערנע רעישאו איז ווען די נומער וועלכע איך נוץ איז 2. די בּראַנז רעישאו איז ווען די נומער וועלכע איך נוץ איז 3. אא"וו.

מ'קען דאס באטראכטן אז ווען איך האב א גאלדענע רעקטענגעל אינעם גאלדענע רעישאו, דאן ווען איך נעם אוועק די 1 גרעסערע רעקטענגעל דערין, וועל איך איבערבלייבן מיט'ן קלענערן וועלכעס איז אליינס אויך א גאלדענע רעקטענגעל. וכן הלאה. ביים זילבערנע רעישאו איז ווען איך האב א רעקטענגעל אין דעם רעישיאו, דאן ווען איך נעם אוועק צוויי סקווערס וואס זענען גרויס 1 ביי 1, דאן בלייב איך איבער מיט א קלענערע רעקטענגעל וועלכעס איז ווייטער אינעם זילבערנע רעישאו. וכן הלאה. ביי א רעקטענגעל אינעם בּראַנז רעישאו דארף איך אוועקנעמען דריי אזעלכע סקווערס צו באקומען נאך א בּראַנז רעישאו. וכן הלאה. און אין די פּעל סיִקווענס באדייט דאס ווען מ׳מאָלטיפּלייט די פריערדיגע נומער דריי צי פיר וכו׳ מאל, בעפאר מ׳לייגט צו דערצו די יעצטיגע נומער צו באקומען דאס נעקסטע אינעם סיִקווענס.

דא זעהט מען ווי דער מעלער רעמבּראנדט האט געמאכט פון זיך א זעלבסט-פּאָרטרעיט עפ״י די גאלדענע רעישׁיאוֺ; אין די פאל מאכענדיג א סארט גאלדענע טרייענגעל. אויב מאכט מען א טרייענגעל פון דריי זייטן: אונטן זיין גוף, און ארויף ביידע זייטן ביי זיינע הענט, איז אז מ׳מאכט א ליין פונעם שפיץ וואו זיי קומען זיך צאם ביז אונטן צוטיילט עס דאס אין צו צוויי חלקים עפ״י די גאלדענע רעישׁיאוֺ. ווי אויך אויב מאכט מען א ליין ביי די אויגן ביז די צוויי זייטן פונעם טרייענגעל איז די ליין קעגן דעם ליין/בּעיס אונטן, ווי אויך בכלל די נייע סימילער טרייענגעל וואס עס שאפט יעצט קעגן דעם אריגינעלן גרויסע טרייענגעל וואס עס איז בתוכה, אויך עפ״י די גאלדענע רעישׁיאוֺ. אן אלגעמיינע גאלדענע טרייענגעל איז אייסאַסיליִס וואו צוויי זייטן דערפון זענען אייניג און זייער לענג קעגן דעם דריטן זייט איז די גאלדענע רעישׁיאוֺ. דא איז עס א סקעיליִן טרייענגעל וואו די לענג פון אלע זייטן זענען אומאייניג.

מ׳קען טרעפן די רעישׁיִאוֺ (און דעם פיִבּאָנאַטשי ספּיירעל) באנוצט אין אסאך מעלערייען.

נאך א וועג פון מסביר זיין די רעישיאו איז אז מ׳האט צוויי ליינס, איינס גרעסער פון צווייטן, וואס דער גרעסערער צו קלענערער איז א געוויסע רעישיאו (וויפיל ער איז גרעסער פונ׳ם קלענערן). אויב נאכדעם ווען מ׳שטעלט זיי צוזאם ׳עט די מאס פונ׳ם צאמגעשטעלטן ליין זיין די זעלבע רעישיאו צום גרעסערן ליין (לכשלעצמו), דאס איז די גאלדענע רעישיאו.


דאס איז א וויזואלע רעפרעזענטאציע דערפון [די גאלדענע רעישיאו] אין א רעקטענגעל; די גאלדענע רעקטענגעל. די זייט a+b איז [אין לענג - רעישיאו] צו זייט a פונקט אזוי ווי a [אליין] איז צו זייט b. עס איז אינטרעסאנט אז ווען מ׳נעמט אוועק פון די רעקטענגעל א/די חלק פון די גאלדענע רעישיאו (אזוי ווי אין די בילד וואו מ׳נעמט אוועק די a חלק), בלייבט איבער א נייע גאלדענע רעקטענגעל/רעישיאו, וכן הלאה. (די ראיה פונ׳ם מרכבת המשנה, וואס פארוואס? האט אזוי פיין מסביר געווען, טוט קאנסטראקטן א גאלדענע טרייענגעל, ווי די לענגערע זייט[ן - וויבאלד ביידע לענגערע זייטן זענען אייניג לאנג] איז צום קלענערע זייט אין די גאלדענע רעישיאו.)